幫幫忙阿~~~~數學很強的大家><

fp60403

(a) 考慮遞迴關係式 a(n+2) * a(n) = a(n+1) ^2 +2, 在a1=a2=1的狀況下
    (i) 假設所有a(n)皆為整數，證明他們皆為奇數且a(n)和a(n+1)在n為正整數的狀況下互質
    (ii)假設集合{a(n), a(n+1), a(n+2)}在n為正整數的狀況下兩兩互質，證明所有的a(n)皆為整數(使用induction的方式)
(b) 考慮遞迴關係式 a(n+2) * a(n) = a(n+1) ^2 +1 在a1=1, a2=2的狀況下
     來比較Fibonacci數列(1,1,2,3,5,8,13...) 你發現什麼? 用數學式來表達並且證明之。

寫這證明好煩= =......
(a)
(i) 把式子的n+2用n來代入的時候會得到a(n)*a(n-2) = a(n-1)^2 + 2
     如果a(n-1)及a(n-2)都為奇數，則等號右邊:奇數的平方+奇數，結果會是奇數。
     等號左邊要為奇數的話，a(n)必為奇數 (唯有奇數*奇數的結果是奇數)。
     所以當a(n-2)和a(n-1)為奇數時a(n)必為奇數。
     a1, a2皆為奇數，故n=1, n=2時成立。
     當n=3時，因為a1, a2為奇數所以a3為奇數，同理因a2, a3為奇數所以a4為奇數，
     依遞迴關係得證當n為正整數時an為奇數。
     
     假設正整數c可以同時整除a(n+2)和a(n+1)
     那我們可以得到下面的式子(移項後再提出c)
     c* ( a(n+2) * an / c  - a(n+1) * a(n+1) / c ) = 2
     既然可以整除那麼括號裡面的數也必定是整數，所以c不是2就是1，
     但前面已經證明an都是奇數，奇數除以2肯定不整除，跟上面假設不符，
     所以c只能等於1，故a(n+2)和a(n+1)互質。
     不要忘記寫a1和a2互質作為開頭。
(ii) 其實用(i)的方式就可以證明三者兩兩互質了。
     一樣寫a1~a3的互質作為開頭，
     再來利用敘述，可以推到a(n+2)和a(n+3)互質，要互質的最基本前提是兩個數都是整數吧？
     於是可以證明依照遞迴關係推導，往下無窮延伸所有an都是整數。

(b) 代入看看前面的排列:
      1, 2, 5, 13, 34, 89.....
      Fibonacci數列是自己等於前兩項和，而這個數列單從規律來看，是"下一項的和等於前面到自己為止的總和加上自己"，
      也就是an = a1+a2+....+an-1  + an-1
      而且這個數列的所有數看起來都存在在Fibonacci數列裡。
      1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89
      事實上它叫作Markov數列, 相當於取Fibonacci數列的第2n-1項的集合。
      證明這個很煩，我就不寫了= =......
      如果真的不會請去求教演算法老師吧。

三哥

{:6_411:}

真ㄉ很謝謝不過真ㄉ不能寫嗎>< 拜託啦
wenwi1234 發表於 2012-11-21 04:23

你是要答案嗎??
那這樣算不算作弊
{:6_270:}

三哥

這證明我看的頭昏噁心想吐了~

跟看到三哥一樣~
lai_1126 發表於 2012-11-21 11:07

大哥你是不是回錯帖了
{:5_357:}

三哥

我會英文但看到數學～～不好意思饒我一命啊{:5_206:}
badfriendclub 發表於 2012-11-21 12:47

也是用菇狗的吧
{:6_440:}

三哥

我只會用來查忘記或者不會的單字，不然估狗會害死人的！{:5_201:}
badfriendclub 發表於 2012-11-21 19:13

真的是這樣迷錯
{:6_413:}